Die klassische Chain-Ladder Methode ist seit fast einem Jahrhundert fester Bestandteil des aktuariellen Werkzeug­kastens, seit Tarbell im Jahr 1934 ein Verfahren zur Berechnung von Schaden­reserven anhand eines Abwicklungs­dreiecks kumulierter Schäden eingeführt hat. Seither wurde sie vielfach erweitert und weiter­entwickelt, wobei die Beispiele von der Bornhuetter-Ferguson-Methode (1972) und der Stanard-Bühlmann-Methode (Stanard, 1985) bis hin zu einer Neubewertung der 1975 von Benktander (Mack, 2000) eingeführten Methode und zur Munich Chain-Ladder-Methode (Quarg & Mack, 2004) reichen.

In diesem Beitrag stellen wir keinen neuen Ansatz vor, vielmehr beleuchten wir die Anwend­barkeit der der Stanard-Bühlmann-Methode zugrunde liegenden Annahme und deren Relevanz für die Tarifierung mit spärlichen Schaden­daten. Die oben genannten alternativen Verfahren eignen sich vor allem für Situationen mit umfang­reichen und verlässlichen Schaden­informationen – ein Umfeld, das wir in der Rück­versicherungs­tarifierung nur selten vorfinden.

Viele der grundlegenden Annahmen der Chain-Ladder-Methode stoßen im Kontext der nicht proportionalen Rückversicherung an ihre Grenzen. Häufig lassen sich diese Annahmen dennoch übernehmen oder entsprechend anpassen. Eine jedoch kaum überwindbare Heraus­forderung für das einfache Chain-Ladder-Verfahren stellen schadenfreie Jahre dar. In lang­abwickelnden Sparten vergehen oft viele Jahre, bis der Rückversicherer von Schäden erfährt oder diese bearbeiten kann: Daher kann in schaden­freien Jahren kein multipli­kativer Faktor eine positive Reserve erzeugen.

Warum die Bornhuetter-Ferguson-Methode in der Tarifierung an ihre Grenzen stößt

Die Bornhuetter-Ferguson¹-(BF‑)Methode wird in derartigen Fällen häufig als rettende Lösung herangezogen. In bestimmten Fall­konstella­tionen, insbesondere bei der Reservierung,² ist sie hierfür auch gut geeignet. Für die Tarifierung nicht proportionaler Layer ist die Auswahl einer geeigneten A‑priori-Schadenquote jedoch alles andere als trivial.

Einige Experten verwenden ihre Exposure-Tarifierung als A‑priori-Annahme. Dies ist grundsätzlich zulässig – idealerweise unter Berück­sichtigung der jeweiligen Exponierung der betrachteten Jahre. Es ist jedoch zu beachten, dass der resultierende Preis dann nicht mehr unabhängig vom Exposure-Preis ist und folglich nicht mehr sinnvoll mit diesem verglichen oder zusammen gewichtet werden kann. In Fällen mit wenigen Schäden und einer langen Schaden­entwicklung kann die „Erfahrungs­tarifierung“ faktisch nahezu vollständig Exposure-basiert werden.

An dieser Stelle sollten wir uns fragen: Warum wenden wir überhaupt Erfahrungs­tarifierung an? Die Zeiten des reinen „Payback“-Pricing sind vorbei – vor allem angesichts der immer stärkeren Zuflüsse institu­tionellen Kapitals in den Markt. Ziel der Erfahrungs­tarifierung ist es, einen Überblick der individuellen Performance des Kunden zu gewinnen, idealerweise im Vergleich zu einer Exposure-Sicht, die auf Markt­annahmen basiert und auf das spezifische Risiko­profil des Kunden angewendet wird. Vor diesem Hintergrund ist zu hinterfragen, ob die Kombination von Erfahrung und Exposure mittels eines BF‑Ansatzes tatsächlich einen aussage­kräftigen Vergleich von Erfahrung und Exposure ermöglicht. Wir würden argumentieren, dass dies nicht der Fall ist.

Der Processed-Premium-Ansatz

Was ist also die Alternative, die wir als Processed-Premium-Ansatz (Ansatz der verbrauchten Prämie) bezeichnen? Wir stützen uns dabei auf die Arbeiten von Stanard und Bühlmann: Die Stanard-Bühlmann-Methode (auch bekannt als Cape-Cod-Methode) ist ein Reservierungs­verfahren für nicht proportionale Daten, für die keine glaubwürdige, unabhängige A‑priori-Schadenquote vorliegt – eine zwingende Voraus­setzung für die klassische BF‑Methode. Stattdessen schlagen Stanard und Bühlmann vor, die implizite A‑priori-Schadenquote aus den Erfahrungs­werten selbst abzuleiten, nachdem diese mit Raten­veränderungen und Schaden­trends nivelliert wurden.

Ihre zentrale Erkenntnis besteht darin, dass der Erfahrung nur so viel Gewicht beigemessen werden sollte, wie sie sich zum Analyse­zeitpunkt bereits entwickelt hat. Das heißt, sie leiten eine A‑priori-Schadenquote als gewichteten Durchschnitt der angefallenen Schaden­quoten ab, wobei die Gewichtung dem jeweiligen Abwicklungs­stand entspricht – was einer Reduzierung der Prämie um den künftigen Abwicklungs­anteil und der Berück­sichtigung des eingetretenen Schaden­aufwands gleichkommt.

Die praktische Berechnung ist einfach: die Summe des angefallenen Schaden­aufwands dividiert durch die Summe der Prämien, jeweils multipliziert mit dem prognosti­zierten Abwicklungs­stand ihres Jahres (aus einem Benchmark- oder angepassten Abwicklungsmuster).³

Wir gehen davon aus, dass dieser Ansatz nicht nur in vielen Fällen eine hervorragende Reserve­schätzung liefert, sondern darüber hinaus die auf das aktuelle Niveau angepasste A‑priori-Schadenquote die erfahrungs­implizierte Schadenquote für die Tarifierung ist. Genauer gesagt folgen wir für eine Tarifierungs­sicht dem Stanard-Bühlmann-Verfahren, sehen jedoch davon ab, die jüngsten Jahre zu projizieren; wir benötigen lediglich die adjustierte A‑priori-Schadenquote.

Diese Schadenquote weist mehrere überzeugende Eigenschaften auf:

• Schadenfreie Jahre werden bis zum erwarteten Abwicklungs­stand voll berücksichtigt. Es gibt keine künstlichen Zuschläge, die den Vergleich mit der Exposure-Tarifierung verzerren.
• Großschäden zu Beginn des Jahres werden voll berücksichtigt, jedoch nicht mit Chain-Ladder-Faktoren hochgerechnet.
• Der Ansatz ist einfach, transparent und ermöglicht einen unabhängigen Vergleich zur Exposure-Tarifierung.

Der Ansatz weist jedoch auch einige Einschrän­kungen auf. Er gewichtet ältere Jahre naturgemäß stärker, was die Bedeutung angemessener Annahmen zu Raten­änderungen, Schaden­inflation und Beobachtungs­zeitraum erhöht. Eine Lösung hierfür wurde von Gluck (1997) vorgeschlagen, der der Gewichtung zwischen einem Jahr und benachbarten Jahren einen exponentiellen Abkling­faktor hinzufügte – faktisch einen gleitenden Durchschnitt, der leicht an das jeweilige Tarifjahr angepasst werden kann.

Technisch anspruchsvollere Ansätze trennen Entwicklungen von gemeldeten Schäden (IBNER) und zukünftigen Schaden­meldungen (IBNYR) und betrachten diese getrennt oder wenden Kalman-Filter anstelle einer einfachen Abnahme an (Korn, 2016). Darüber hinaus bildet der Processed-Premium-Ansatz die natürliche Grundlage für die in Korn im Jahr 2017 vorgestellten Credibility-Ansätze für Layer.

Abschließend sei betont: Auch dieser Ansatz ist im Kern weiterhin eine Chain-Ladder-Methode. Der Abwicklungs­stand stammt in der Regel – wenn auch nicht zwingend – aus einer Chain-Ladder-Analyse der Schaden­historie des Kunden oder eines Benchmark-Datensatzes. Für jedes einzelne Jahr ist die berechnete Schadenquote identisch; der Unterschied liegt ausschließlich in der Gewichtung im Durchschnitt.

Der Processed-Premium-Ansatz ist somit nichts anderes als eine Neukonzeption der Stanard-Bühlmann-Methode für Tarifierungs­zwecke statt für die Reservierung. Er liefert uns keine Aussage darüber, wo die Abwicklung der historischen Jahre letztlich enden wird, sondern zeigt, auf welchem Niveau die adjustierte A‑priori-Schadenquote des Vertrags aktuell liegt – was unserer erfahrungs­basierten Sicht auf die tarifierte Schadenquote entspricht.