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Die klassische Chain-Ladder Methode ist seit fast einem Jahrhundert fester Bestandteil des aktuariellen Werkzeugkastens, seit Tarbell im Jahr 1934 ein Verfahren zur Berechnung von Schadenreserven anhand eines Abwicklungsdreiecks kumulierter Schäden eingeführt hat. Seither wurde sie vielfach erweitert und weiterentwickelt, wobei die Beispiele von der Bornhuetter-Ferguson-Methode (1972) und der Stanard-Bühlmann-Methode (Stanard, 1985) bis hin zu einer Neubewertung der 1975 von Benktander (Mack, 2000) eingeführten Methode und zur Munich Chain-Ladder-Methode (Quarg & Mack, 2004) reichen.
In diesem Beitrag stellen wir keinen neuen Ansatz vor, vielmehr beleuchten wir die Anwendbarkeit der der Stanard-Bühlmann-Methode zugrunde liegenden Annahme und deren Relevanz für die Tarifierung mit spärlichen Schadendaten. Die oben genannten alternativen Verfahren eignen sich vor allem für Situationen mit umfangreichen und verlässlichen Schadeninformationen – ein Umfeld, das wir in der Rückversicherungstarifierung nur selten vorfinden.
Viele der grundlegenden Annahmen der Chain-Ladder-Methode stoßen im Kontext der nicht proportionalen Rückversicherung an ihre Grenzen. Häufig lassen sich diese Annahmen dennoch übernehmen oder entsprechend anpassen. Eine jedoch kaum überwindbare Herausforderung für das einfache Chain-Ladder-Verfahren stellen schadenfreie Jahre dar. In langabwickelnden Sparten vergehen oft viele Jahre, bis der Rückversicherer von Schäden erfährt oder diese bearbeiten kann: Daher kann in schadenfreien Jahren kein multiplikativer Faktor eine positive Reserve erzeugen.
Die Bornhuetter-Ferguson1-(BF‑)Methode wird in derartigen Fällen häufig als rettende Lösung herangezogen. In bestimmten Fallkonstellationen, insbesondere bei der Reservierung,2 ist sie hierfür auch gut geeignet. Für die Tarifierung nicht proportionaler Layer ist die Auswahl einer geeigneten A‑priori-Schadenquote jedoch alles andere als trivial.
Einige Experten verwenden ihre Exposure-Tarifierung als A‑priori-Annahme. Dies ist grundsätzlich zulässig – idealerweise unter Berücksichtigung der jeweiligen Exponierung der betrachteten Jahre. Es ist jedoch zu beachten, dass der resultierende Preis dann nicht mehr unabhängig vom Exposure-Preis ist und folglich nicht mehr sinnvoll mit diesem verglichen oder zusammen gewichtet werden kann. In Fällen mit wenigen Schäden und einer langen Schadenentwicklung kann die „Erfahrungstarifierung“ faktisch nahezu vollständig Exposure-basiert werden.
An dieser Stelle sollten wir uns fragen: Warum wenden wir überhaupt Erfahrungstarifierung an? Die Zeiten des reinen „Payback“-Pricing sind vorbei – vor allem angesichts der immer stärkeren Zuflüsse institutionellen Kapitals in den Markt. Ziel der Erfahrungstarifierung ist es, einen Überblick der individuellen Performance des Kunden zu gewinnen, idealerweise im Vergleich zu einer Exposure-Sicht, die auf Marktannahmen basiert und auf das spezifische Risikoprofil des Kunden angewendet wird. Vor diesem Hintergrund ist zu hinterfragen, ob die Kombination von Erfahrung und Exposure mittels eines BF‑Ansatzes tatsächlich einen aussagekräftigen Vergleich von Erfahrung und Exposure ermöglicht. Wir würden argumentieren, dass dies nicht der Fall ist.
Was ist also die Alternative, die wir als Processed-Premium-Ansatz (Ansatz der verbrauchten Prämie) bezeichnen? Wir stützen uns dabei auf die Arbeiten von Stanard und Bühlmann: Die Stanard-Bühlmann-Methode (auch bekannt als Cape-Cod-Methode) ist ein Reservierungsverfahren für nicht proportionale Daten, für die keine glaubwürdige, unabhängige A‑priori-Schadenquote vorliegt – eine zwingende Voraussetzung für die klassische BF‑Methode. Stattdessen schlagen Stanard und Bühlmann vor, die implizite A‑priori-Schadenquote aus den Erfahrungswerten selbst abzuleiten, nachdem diese mit Ratenveränderungen und Schadentrends nivelliert wurden.
Ihre zentrale Erkenntnis besteht darin, dass der Erfahrung nur so viel Gewicht beigemessen werden sollte, wie sie sich zum Analysezeitpunkt bereits entwickelt hat. Das heißt, sie leiten eine A‑priori-Schadenquote als gewichteten Durchschnitt der angefallenen Schadenquoten ab, wobei die Gewichtung dem jeweiligen Abwicklungsstand entspricht – was einer Reduzierung der Prämie um den künftigen Abwicklungsanteil und der Berücksichtigung des eingetretenen Schadenaufwands gleichkommt.
Die praktische Berechnung ist einfach: die Summe des angefallenen Schadenaufwands dividiert durch die Summe der Prämien, jeweils multipliziert mit dem prognostizierten Abwicklungsstand ihres Jahres (aus einem Benchmark- oder angepassten Abwicklungsmuster).3
Wir gehen davon aus, dass dieser Ansatz nicht nur in vielen Fällen eine hervorragende Reserveschätzung liefert, sondern darüber hinaus die auf das aktuelle Niveau angepasste A‑priori-Schadenquote die erfahrungsimplizierte Schadenquote für die Tarifierung ist. Genauer gesagt folgen wir für eine Tarifierungssicht dem Stanard-Bühlmann-Verfahren, sehen jedoch davon ab, die jüngsten Jahre zu projizieren; wir benötigen lediglich die adjustierte A‑priori-Schadenquote.
Diese Schadenquote weist mehrere überzeugende Eigenschaften auf:
Der Ansatz weist jedoch auch einige Einschränkungen auf. Er gewichtet ältere Jahre naturgemäß stärker, was die Bedeutung angemessener Annahmen zu Ratenänderungen, Schadeninflation und Beobachtungszeitraum erhöht. Eine Lösung hierfür wurde von Gluck (1997) vorgeschlagen, der der Gewichtung zwischen einem Jahr und benachbarten Jahren einen exponentiellen Abklingfaktor hinzufügte – faktisch einen gleitenden Durchschnitt, der leicht an das jeweilige Tarifjahr angepasst werden kann.
Technisch anspruchsvollere Ansätze trennen Entwicklungen von gemeldeten Schäden (IBNER) und zukünftigen Schadenmeldungen (IBNYR) und betrachten diese getrennt oder wenden Kalman-Filter anstelle einer einfachen Abnahme an (Korn, 2016). Darüber hinaus bildet der Processed-Premium-Ansatz die natürliche Grundlage für die in Korn im Jahr 2017 vorgestellten Credibility-Ansätze für Layer.
Abschließend sei betont: Auch dieser Ansatz ist im Kern weiterhin eine Chain-Ladder-Methode. Der Abwicklungsstand stammt in der Regel – wenn auch nicht zwingend – aus einer Chain-Ladder-Analyse der Schadenhistorie des Kunden oder eines Benchmark-Datensatzes. Für jedes einzelne Jahr ist die berechnete Schadenquote identisch; der Unterschied liegt ausschließlich in der Gewichtung im Durchschnitt.
Der Processed-Premium-Ansatz ist somit nichts anderes als eine Neukonzeption der Stanard-Bühlmann-Methode für Tarifierungszwecke statt für die Reservierung. Er liefert uns keine Aussage darüber, wo die Abwicklung der historischen Jahre letztlich enden wird, sondern zeigt, auf welchem Niveau die adjustierte A‑priori-Schadenquote des Vertrags aktuell liegt – was unserer erfahrungsbasierten Sicht auf die tarifierte Schadenquote entspricht.
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